系统与 LTI 系统¶

系统把输入信号变成输出信号。分析系统，就是寻找这条“变换规则”具有哪些性质。

1. 输入、系统与输出¶

用算子 $\mathcal T\{\cdot\}$ 表示系统：

\[ y(t)=\mathcal T\{x(t)\} \]

例如：

放大器：$y(t)=3x(t)$；
延时器：$y(t)=x(t-0.1)$；
微分器：$y(t)=dx(t)/dt$；
移动平均滤波器：$y[n]=\bigl(x[n]+x[n-1]+x[n-2]\bigr)/3$。

系统既可以是物理对象，也可以是算法。电机、弹簧、数字滤波器和测速程序都可视为系统。

2. 五个核心性质¶

2.1 线性¶

若对任意输入 $x_1,x_2$ 和常数 $a,b$ 都满足

\[ \mathcal T\{ax_1+bx_2\}=a\mathcal T\{x_1\}+b\mathcal T\{x_2\} \]

则系统线性。这包含：

齐次性：输入放大 $a$ 倍，输出也放大 $a$ 倍；
可加性：输入之和的响应等于各响应之和。

Example

$y(t)=2x(t)$ 线性；$y(t)=x^2(t)$ 不线性；$y(t)=2x(t)+1$ 也不线性，因为零输入时输出不为零。

2.2 时不变¶

如果输入整体延迟 $t_0$，输出只会延迟相同时间，系统就是时不变的：

\[ x(t)\xrightarrow{\mathcal T}y(t) \quad\Rightarrow\quad x(t-t_0)\xrightarrow{\mathcal T}y(t-t_0) \]

判断时建议执行“两条路”：

先让延迟后的输入通过系统；
再把原输出直接延迟；
比较结果是否对任意输入和任意延迟都相同。

为什么 $y(t)=tx(t)$ 是时变系统

延迟输入后得到 $t\,x(t-t_0)$；延迟原输出则得到 $(t-t_0)x(t-t_0)$。两者不同，所以系统时变。直觉上，系统增益会随当前时刻改变。

2.3 因果性¶

在时刻 $t_0$ 的输出，只能依赖当前和过去的输入，不能依赖未来输入，则系统因果。

$y(t)=x(t)+x(t-1)$：因果；
$y(t)=x(t+1)$：非因果，因为需要预知 1 秒后的输入。

离线处理录好的数据可以使用非因果算法；实时机器人控制通常必须因果。

2.4 记忆性¶

若时刻 $t$ 的输出只依赖同一时刻的输入 $x(t)$，系统无记忆；否则有记忆。

$y(t)=|x(t)|$：无记忆；
$y(t)=x(t-1)$、$y(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau$：有记忆。

“有记忆”不等于“有状态变量”在所有语境下的严格定义，但在初学阶段可以把过去信息需要保存理解为系统记忆。

2.5 BIBO 稳定性¶

BIBO 是“有界输入—有界输出”：若存在有限 $B_x$ 使 $|x(t)|\le B_x$，系统输出也一定存在有限 $B_y$ 使 $|y(t)|\le B_y$，则系统 BIBO 稳定。

Example

积分器 $y(t)=\int_0^t x(\tau)d\tau$ 不 BIBO 稳定。对有界输入 $x(t)=1$，输出 $y(t)=t$ 会无限增长。

3. 什么是 LTI 系统¶

同时满足线性（Linear）和时不变（Time-Invariant）的系统称为 LTI 系统。

LTI 并不代表所有真实系统，但在一定工作范围内，大量系统可以近似为 LTI：

电机在固定工作点附近的小信号模型；
未发生饱和的放大电路；
系数固定的数字滤波器；
小形变范围内的质量—弹簧—阻尼系统。

它之所以重要，是因为线性允许拆分和叠加，时不变允许把任意时刻的响应从一个已知响应平移得到。两者结合后，只需知道系统对单位冲激的响应，就能求出对任意输入的响应。

4. 用方程描述系统¶

4.1 连续时间：线性常系数微分方程¶

一般形式为

\[ \sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{M}b_k\frac{d^kx(t)}{dt^k} \]

例如一阶 RC 低通：

\[ RC\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t) \]

系数为常数且输入输出只以一次幂出现，因此它描述一个 LTI 系统。

4.2 离散时间：线性常系数差分方程¶

一般形式为

\[ \sum_{k=0}^{N}a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_k x[n-k] \]

例如一阶平滑滤波器：

\[ y[n]=\alpha x[n]+(1-\alpha)y[n-1],\qquad0<\alpha<1 \]

当前输出保留一部分新测量，也保留一部分上次输出，因此能平滑噪声。

方程还不总能唯一确定输出

微分或差分方程通常还需要初始条件。谈传递函数和“零状态响应”时，默认初始状态为零；真实系统中储存在电容、惯量或延时单元里的初始能量可能产生额外的“零输入响应”。

5. 零输入响应与零状态响应¶

线性系统的完整响应可以写成

\[ y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t) \]

零输入响应 $y_{zi}$：外部输入为零，仅由初始储能产生；
零状态响应 $y_{zs}$：初始状态为零，仅由外部输入产生。

以一阶系统 $\dot y+ay=bx(t)$ 为例：

\[ y(t)=\underbrace{y(0)e^{-at}}_{\text{零输入响应}} +\underbrace{\int_0^t be^{-a(t-\tau)}x(\tau)d\tau}_{\text{零状态响应}} \]

这个积分已经隐约呈现出下一章的核心——卷积。

6. LTI 系统性质与冲激响应的关系¶

设 LTI 系统的冲激响应为 $h(t)$：

系统性质	连续时间条件	离散时间条件
因果	$h(t)=0,\ t<0$	$h[n]=0,\ n<0$
BIBO 稳定	$\int_{-\infty}^{\infty}	h(t)
无记忆	$h(t)=K\delta(t)$	$h[n]=K\delta[n]$

稳定性条件的直觉是：输出会把输入的许多移位副本按 $h$ 加权叠加；若绝对权重总和有限，有界输入就不可能被叠加成无限大输出。

7. 一套可靠的判定流程¶

面对 $y=\mathcal T\{x\}$ 时，可以按以下顺序：

线性：代入 $ax_1+bx_2$，检查叠加性；
时不变：比较 $\mathcal T\{x(t-t_0)\}$ 与 $y(t-t_0)$；
因果：时刻 $t$ 是否出现 $t$ 之后的输入；
记忆性：是否只用同一时刻的输入；
稳定性：尝试用任意有界输入建立输出上界，或找一个反例。

完整判断 $y[n]=x[n]+0.5x[n-1]$

输入只做线性组合，因此线性；
系数和延时不随 $n$ 变化，因此时不变；
只用当前与过去输入，因此因果；
用到 $x[n-1]$，因此有记忆；
若 $|x[n]|\le B$，则 $|y[n]|\le1.5B$，因此 BIBO 稳定。

8. 本章自测¶

1. $y(t)=\cos(x(t))$ 是否线性？

否。例如零输入产生 $\cos0=1$，已经违反线性系统必须满足的零输入—零输出性质。

2. $y[n]=x[-n]$ 是否时不变、是否因果？

时不变性：延迟输入后为 $x[-n-n_0]$，延迟输出为 $x[-n+n_0]$，通常不同，所以时变。它在 $n<0$ 时会使用未来序号的输入，因此对双边时间轴不是因果系统。

3. $y[n]=n\,x[n]$ 有哪些性质？

它线性、无记忆、因果，但时变。若时间轴覆盖所有整数，对有界输入 $x[n]=1$，输出 $n$ 无界，因此不 BIBO 稳定。

4. 为什么传递函数分析通常注明零初始条件？

因为输入输出的比值描述的是零状态响应；非零初始能量还会产生与外部输入无关的零输入响应，不能包含在单纯的输入输出比值中。

下一步：冲激响应与卷积。

系统性质	连续时间条件	离散时间条件
因果	\(h(t)=0,\ t<0\)	\(h[n]=0,\ n<0\)
BIBO 稳定	$\int_{-\infty}^{\infty}	h(t)
无记忆	\(h(t)=K\delta(t)\)	\(h[n]=K\delta[n]\)