傅里叶分析与频率响应¶
傅里叶分析的核心思想：复杂信号可以拆成许多不同频率的复指数；LTI 系统只会改变每个频率的幅值和相位，不会凭空把它变成别的频率。
1. 为什么要从时域走向频域¶
观察一段带噪声的 IMU 数据，仅从波形可能很难分清：
- 缓慢变化的真实姿态；
- 50 Hz 的电源干扰；
- 高频机械振动；
- 传感器宽带噪声。
频域会把这些成分按频率排开。我们就能设计低通、带阻等滤波器，保留需要的成分并抑制其余部分。
为什么选择复指数¶
把 \(e^{j\omega t}\) 输入 LTI 系统：
输出仍是同频率的复指数，只多了复数系数 \(H(j\omega)\)。因此复指数是 LTI 系统的特征函数：
\(|H(j\omega)|\) 改变幅值，\(\angle H(j\omega)\) 改变相位。
2. 周期信号：连续时间傅里叶级数¶
周期为 \(T_0\)、基波角频率为 \(\omega_0=2\pi/T_0\) 的信号可表示为
系数为
- \(k=0\) 是直流分量，也就是一周期平均值；
- \(k=\pm1\) 是基波；
- \(k=\pm2,\pm3,\ldots\) 是高次谐波；
- 只需在任意一个完整周期上积分。
50% 占空比方波为什么有很多高频
对幅值在 \(\pm A\) 间切换、零均值且具有半波对称的方波，三角形式为
突然跳变需要许多高次谐波共同合成。边沿越陡，高频成分通常越丰富，这也是数字开关会产生 EMI 的原因之一。
若 \(x(t)\) 为实信号，则 \(X_{-k}=X_k^*\)，称为共轭对称。负频率不是另一种物理振动，而是用复指数表达实正弦时自然出现的数学伙伴。
离散周期序列：DTFS¶
周期为 \(N\) 的离散序列只需要 \(N\) 个不同频率分量：
这是离散傅里叶变换思想的直接来源。
3. 非周期信号：连续时间傅里叶变换¶
当周期趋向无穷，离散谱线变成连续频谱：
逆变换为
\(X(j\omega)\) 通常是复数，可写成
- 幅度谱 \(|X|\)：每个频率有多强；
- 相位谱 \(\phi\)：各频率在时间上怎样对齐。
相位同样重要
两个信号可以有相同幅度谱却有完全不同的波形。幅度决定“用了哪些积木”，相位决定“这些积木怎样拼起来”。
常用变换对¶
以下采用角频率 \(\omega\)，单位 rad/s：
| \(x(t)\) | \(X(j\omega)\) | 说明 |
|---|---|---|
| \(\delta(t)\) | \(1\) | 瞬时冲激包含所有频率 |
| \(1\) | \(2\pi\delta(\omega)\) | 常量只有直流 |
| \(e^{-at}u(t),\ a>0\) | \(\dfrac1{a+j\omega}\) | 因果衰减指数 |
| \(\cos\omega_0t\) | \(\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\) | 两条对称谱线 |
| \(u(t+T/2)-u(t-T/2)\) | \(T\,\mathrm{sinc}(\omega T/2)\) | 时域矩形对应频域 sinc |
这里定义 \(\mathrm{sinc}(x)=\sin x/x\)，且 \(\mathrm{sinc}(0)=1\)。
矩形脉冲越窄，频谱主瓣越宽；时域和频域不能同时无限集中。这是“短脉冲含有宽频带”的数学来源。
4. 离散时间傅里叶变换（DTFT）¶
对一般离散序列：
离散角频率 \(\Omega\) 的单位是 rad/sample，并且
这说明离散频谱以 \(2\pi\) 为周期。模拟频率和离散频率的关系为
Example
采样率 \(f_s=1000\) Hz 时，100 Hz 对应 \(\Omega=0.2\pi\) rad/sample；500 Hz 对应 \(\pi\) rad/sample，也就是 Nyquist 频率。
DTFT 与 DFT 不要混淆¶
| 名称 | 输入 | 输出 | 用途 |
|---|---|---|---|
| DTFT | 可为无限长离散序列 | 连续且 \(2\pi\) 周期的频率函数 | 理论分析 |
| DFT | 长度 \(N\) 的有限数据 | \(N\) 个离散频点 | 计算机数值计算 |
| FFT | — | — | 快速计算 DFT 的算法，不是另一种变换 |
5. 最重要的傅里叶变换性质¶
设 \(x(t)\leftrightarrow X(j\omega)\)：
| 时域操作 | 频域结果 | 直觉 |
|---|---|---|
| \(ax_1+bx_2\) | \(aX_1+bX_2\) | 线性 |
| \(x(t-t_0)\) | \(e^{-j\omega t_0}X(j\omega)\) | 延时只增加线性相位 |
| \(x(at)\) | $\dfrac1{ | a |
| \(e^{j\omega_0t}x(t)\) | \(X(j(\omega-\omega_0))\) | 调制搬移频谱 |
| \(dx/dt\) | \(j\omega X(j\omega)\) | 微分放大高频 |
| \(\int_{-\infty}^t x(\tau)d\tau\) | \(X(j\omega)/(j\omega)\)，另需注意直流项 | 积分偏重低频 |
| \(x*h\) | \(XH\) | 卷积变乘法 |
| \(x(t)h(t)\) | \(\dfrac1{2\pi}X*H\) | 时域相乘变频域卷积 |
微分会按 \(|\omega|\) 放大频率分量，所以直接对带噪编码器角度做差分，往往得到非常抖的速度。
Parseval 能量关系¶
它说明总能量没有消失，只是从时间轴换到了频率轴上表示。
6. 频率响应：系统在频域中的说明书¶
冲激响应的傅里叶变换就是频率响应：
由于 \(y=x*h\)，有
因此每个频率都被独立地乘上一个复数增益。
一阶 RC 低通¶
其幅值和相位为
截止角频率 \(\omega_c=1/(RC)\)，截止频率 \(f_c=1/(2\pi RC)\)。在截止点：
换成分贝：
所以截止频率常称为 −3 dB 频率，它不是“到此完全截止”，而是幅值降到 0.707。
常见滤波器¶
| 类型 | 通过 | 抑制 | 机器人例子 |
|---|---|---|---|
| 低通 | 低频 | 高频 | 平滑 IMU/编码器噪声 |
| 高通 | 高频 | 直流与低频 | 去除传感器缓慢漂移 |
| 带通 | 某段频带 | 频带外 | 提取机械共振或生理信号频段 |
| 带阻/陷波 | 除某窄频段外 | 某窄频段 | 抑制 50/60 Hz 工频干扰 |
滤波存在代价
更强的幅值衰减通常伴随相位滞后和时间延迟。控制回路里不能只看“波形变平滑了”，还必须评估相位裕度和响应速度。
理想砖墙滤波器通常具有无限长、双边的冲激响应，无法被实时、有限资源系统原样实现。工程滤波器只能在过渡带宽、计算量、延迟和衰减之间折中。
7. 本章自测¶
1. 周期信号与非周期信号的频谱通常有什么区别？
周期信号用傅里叶级数表示，频谱通常是位于整数倍基频处的离散谱线；非周期信号用傅里叶变换表示，频谱通常连续。
2. 为什么微分会放大高频噪声？
因为 \(dx/dt\leftrightarrow j\omega X(j\omega)\)，频率越高，幅值乘数 \(|\omega|\) 越大。
3. 一个系统在 20 Hz 处 \(H=0.5e^{-j\pi/4}\)。输入为 \(2\cos(2\pi20t)\) 时，稳态输出是什么？
输出幅值为 \(2\times0.5=1\)，相位滞后 \(\pi/4\)：\(y(t)=\cos(2\pi20t-\pi/4)\)。
4. −3 dB 是否表示幅值只剩一半？
不是。幅值比约为 \(10^{-3/20}\approx0.708\)；功率比才约为一半。
下一步：拉普拉斯变换与传递函数。