信号与系统¶

传感器产生信号，算法处理信号，电机和机器人本体构成系统。信号与系统研究的，就是信息怎样随时间变化，以及一个装置怎样改变这些信息。

为什么机器人学习者需要它¶

机器人中的很多问题，表面上属于不同方向，底层却使用同一套语言：

IMU 的角速度为什么需要低通滤波？
编码器从每秒脉冲数怎样变成转速？
控制指令延迟 20 ms，为什么可能使机械臂振荡？
ADC 采样频率太低，为什么会“看到”一个并不存在的低频信号？
电机模型为什么能写成传递函数？极点又代表什么？

这套笔记会从时域出发，逐步建立频域和复频域工具。重点不是背变换表，而是形成下面这条思考链：

flowchart LR
    A[现实中的物理量] --> B[表示成信号]
    B --> C[建立系统模型]
    C --> D[利用 LTI 性质]
    D --> E[时域：卷积]
    D --> F[频域：傅里叶]
    D --> G[复频域：拉普拉斯 / Z]
    E --> H[预测输出]
    F --> H
    G --> H
    H --> I[滤波、采样与控制]

学习路线¶

顺序	章节	学完应能回答
1	信号的表示与基本运算	连续/离散、周期/非周期、能量/功率信号有什么区别？怎样平移、翻转和缩放信号？
2	系统与 LTI 系统	怎样判断线性、时不变、因果、稳定和有无记忆？为什么 LTI 系统特别重要？
3	冲激响应与卷积	为什么一个冲激响应就能描述整个 LTI 系统？卷积怎样一步步算？
4	傅里叶分析与频率响应	一个信号包含哪些频率？系统会怎样改变各频率的幅值和相位？
5	拉普拉斯变换与传递函数	傅里叶变换不存在时怎么办？极点、零点、收敛域和稳定性是什么关系？
6	采样、混叠与重建	连续信号如何安全地变成数字信号？采样率和抗混叠滤波器怎样选？
7	Z 变换与离散系统	怎样分析差分方程、数字滤波器和离散系统的稳定性？
8	总复习与练习	应该选择哪一种工具？怎样分析编码器测速与 16 通道肌电手环？

建议顺序

第一次学习请按 1 → 8 阅读。不要在卷积还不熟时直接背变换性质；后面的变换，本质上都是为了把难算的卷积变成容易算的乘法。

一张总地图¶

连续时间与离散时间¶

对象	连续时间系统	离散时间系统
信号	\(x(t)\)，任意实数时刻有定义	\(x[n]\)，只在整数序号有定义
基本模型	微分方程	差分方程
单位冲激	\(\delta(t)\)	\(\delta[n]\)
时域运算	卷积积分	卷积求和
频域工具	傅里叶级数、傅里叶变换	DTFS、DTFT
复频域工具	拉普拉斯变换	Z 变换

四种最重要的观察方式¶

观察方式	主要问题	典型工具
时域	此刻的输出是多少？瞬态怎样变化？	微分/差分方程、卷积
频域	信号含有哪些频率？系统保留或削弱哪些频率？	傅里叶变换、频率响应
\(s\) 域	连续系统是否稳定？初始状态和暂态怎样变化？	拉普拉斯变换、传递函数
\(z\) 域	离散系统是否稳定？数字滤波器怎样实现？	Z 变换、系统函数

先建立一个直觉

时域像看一段音乐的波形，频域像看低音、中音和高音各有多强。它们描述的是同一个信号，只是观察角度不同。

贯穿全篇的例子：编码器测速¶

假设编码器每隔 \(T_s=0.01\ \mathrm{s}\) 给出一次角度 \(\theta[n]\)：

\(\theta[n]\) 是离散时间信号；
用 \(\bigl(\theta[n]-\theta[n-1]\bigr)/T_s\) 得到速度，这是一个离散系统；
差分会放大高频测量噪声，因此通常还要低通滤波；
低通滤波会带来相位滞后，进而影响闭环控制；
采样率不足还会造成混叠，此时数字滤波已经无法恢复原信号。

后续每一种工具，都会帮助我们理解这条处理链的一部分。